2 Agosto Ago 2018 1514 02 agosto 2018

Quando una funzione è derivabile

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Tra le materie scolastiche che suscitano maggiori reazioni tra gli studenti (c'è chi si appassiona e chi invece proprio non la digerisce) c'è la matematica: uno dei concetti con cui si “litiga” di più è quello di derivabilità.

Bisogna fare un po' di chiarezza sull'argomento per riuscire a capire quando una funzione è derivabile.

La condizione necessaria e sufficiente

Per verificare se una funzione è derivabile bisogna assicurarsi che ci sia la condizione di derivabilità, ovvero la condizione necessaria e sufficiente per garantire che esista la derivata della funzione in un dato punto del suo dominio.

La derivata di una funzione è definita come il limite del rapporto incrementale (ovvero il rapporto tra la variazione nelle ordinate e la variazione nelle ascisse) della funzione stessa in un punto; la funzione è derivabile in un punto se i limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono, sono finiti e hanno il medesimo valore.

Leggi anche: "Quando una funzione è derivabile in un punto"

Come verificare se una funzione è derivabile?

La continuità della funzione in un punto è una condizione necessaria (ma non sufficiente) per dire se una funzione è derivabile o meno (in altre parole: esistono funzioni continue, ma che non sono derivabili).

Un errore commesso da tantissimi studenti è quello di verificare se una funzione è derivabile confrontando i limiti della derivata prima e non quelli del rapporto incrementale: questo metodo non funziona sempre.

Leggi anche: "quando una funzione è continua in un intervallo chiuso"

Al concetto di derivabilità di una funzione sono legati alcuni teoremi:

  • la somma e la differenza di due funzioni derivabili sono derivabili;
  • il prodotto e il quoziente di due funzioni derivabili sono derivabili;
  • la composizione di funzioni derivabili è anch'essa derivabile.
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